+  i

Primos gaussianos

Los enteros gaussianos son números complejos que tienen la forma a + bi donde a y b son números enteros reales e i es la raíz cuadrada de -1. Como los enteros, estos números se pueden factorizar en primos de una sola manera (esto se conoce como dominio de factorización única). Por ejemplo: 79 + 43i = (1+i) (2-i) (28+5i)

Para poder determinar si un entero gaussiano x + iy es primo o no, se debe cumplir uno de los siguientes criterios:

  1. x=0, y=3 (mod 4), y es primo.
  2. y=0, x=3 (mod 4), x es primo.
  3. x≠0, y≠0, x² + y² es primo.

La aplicación que se encuentra arriba muestra los primos gaussianos donde |a| < 1000000000 y |b| < 1000000000. Los números primos se muestran en verde.

Mueva el gráfico arrastrando el ratón sobre él con el botón izquierdo presionado. Puede obtener más detalle o ver un área mayor usando los botones Acercar o Alejar.

También puede ver la posición a + bi en el plano complejo de cualquier punto en el gráfico moviendo el cursor hasta ese punto.

Cambie el centro escribiendo un nuevo número complejo en ambas cajas de entrada (hasta 9 dígitos cada uno) y presione la tecla Enter.

Existe un problema matemático sin resolver llamado foso gaussiano referido a esta representación gráfica de los primos gaussianos. Suponiendo que los números compuestos son agua y los primos, piedras que sobresalen, se pretende saber si es posible unir el origen 0+0i con el infinito por cualquier camino si la longitud del salto entre las piedras está limitada. Nobuyuki Tsuchimura demostró en el año 2004 que no es posible alcanzar la distancia 80015782 desde el origen si los pasos tienen longitud 6 o menor.

Escrito por Dario Alpern. Modificado el 10 de febrero de 2018.

Código fuente

Puede bajar el código fuente de esta aplicación y del viejo applet de visualización de primos gaussianos desde GitHub. El código fuente está escrito en lenguaje C, por lo que es necesario Emscripten para generar Javascript.