Métodos para resolver ecuaciones diofánticas de segundo grado
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- Métodos para resolver ecuaciones diofánticas de segundo grado
por Dario Alejandro Alpern
El propósito de este artículo es mostrar cómo resolver la ecuación diofántica Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. El término ecuación diofántica significa que las soluciones (x, y) deben ser números enteros. Por ejemplo, la ecuación 4y2 - 20y + 25 = 0 tiene soluciones dadas por la línea horizontal y = 2.5, pero como 2,5 no es un número entero, diremos que la ecuación no tiene soluciones.
Hay algunos casos que dependen de los valores de A, B y C. Los nombres de estos casos se toman de las figuras que la ecuación representa en el plano xy: una línea, una elipse, una parábola o una hipérbola (o dos líneas). Estas figuras son el conjunto de soluciones reales. En nuestra situación, el conjunto de soluciones está representado por puntos aislados en el plano xy.
Contenido
- Caso lineal: A = B = C = 0.
- Caso hiperbólico simple: A = C = 0; B ≠ 0.
- Caso elíptico: B2 - 4AC < 0.
- Caso parabólico: B2 - 4AC = 0.
- Caso hiperbólico: B2 - 4AC > 0.
- Programas que usan estos métodos
Caso lineal: A = B = C = 0
La ecuación es ahora: Dx + Ey + F = 0. Se pueden distinguir varios casos:- Si D = 0 y E = 0 habrá soluciones sólo si F = 0. En este caso todos los valores de x e y son soluciones.
- Si D = 0 y E ≠ 0 tenemos:
Ey + F = 0 => y = -F/E, x = cualquier entero.
Esto significa que habrá soluciones si y sólo si F es múltiplo de E. - Si D ≠ 0 y E = 0 resulta:
Dx + F = 0 => x = -F/D, y = cualquier entero.
Esto significa que habrá soluciones si y sólo si F es múltiplo de D. - Si D ≠ 0 y E ≠ 0 la situación es un poco más complicada:
Sea g = mcd(D, E). Como D y E son múltiplos de g, la expresión Dx + Ey también será un múltiplo de g para cualquier valor entero de x e y, por lo que si F no es múltiplo de g, la ecuacion no tiene soluciones.Si F es múltiplo de g podemos dividir los tres coeficientes por g obteniendo:
dx + ey = -f (donde d=D/g, e=E/g y f=F/g). Ahora utilizaremos el algoritmo extendido de Euclides que se utiliza para hallar valores u' y v' enteros tales que uu'+vv' = ±mcd(u, v) (donde el signo depende del signo de d y e y de la implementación del algoritmo).Hagamos ahora u = d, v = e. Una vez que se encuentren los valores de u' y v' tales que du'+ev' = ±1 (ya que mcd(d, e)=1) podemos multiplicar la ecuación por -f para obtener:
du'+ev' = ±1 => d(±fu')+e(±fv') = -f => d(±fu')+det+e(±fv')-det = -f => d(et±fu')+e(-dt±fv') = f
Así que el conjunto general de soluciones es:
x = et ± fu'
y = -dt ± fv'
t = cualquier entero
mcd(D, E) = mcd(10, 84) = 2. Como el término independiente también es múltiplo de 2, deberemos dividir la ecuación por este mcd.
La ecuación es ahora: 5x + 42y + 8 = 0.
Ahora aplicaremos el algoritmo generalizado de Euclides:
- Paso 1: 1 * 5 + 0 * 42 = 5
- Paso 2: 0 * 5 + 1 * 42 = 42
- Paso 3: 1 * 5 + 0 * 42 = 5
- Paso 4: (-8) * 5 + 1 * 42 = 2
- Paso 5: 17 * 5 + (-2) * 42 = 1
Multiplicando la última ecuación por -F = -8 obtenemos:
(-136) * 5 + 16 * 42 = -8
Sumando y restando de t = 5 * 42 t obtenemos:
(-136 + 42 t) * 5 + (16 - 5 t) * 42 = -8
Así, la solución está dada por el conjunto:
x = -136 + 42 t
y = 16 - 5 t
donde t es cualquier número entero.
Caso hiperbólico simple A = C = 0; B ≠ 0
Como A = C = 0, la ecuación original se reduce a Bxy + Dx + Ey + F = 0, así que:Existen dos casos: DE - BF = 0 (dos líneas paralelas a los ejes x e y respectivamente) y DE - BF ≠ 0 (una hipérbola cuyas asíntotas son paralelas a los ejes x e y).
En el primer caso una condición necesaria para la existencia de soluciones ocurre cuando uno de los paréntesis es igual a cero, es decir, Bx + E = 0 o By + D = 0. Como B ≠ 0, tenemos soluciones para:
x = cualquier entero, y = -
En el segundo caso los valores de x e y se pueden hallar a partir de los divisores de DE - BF. Sean d1, d2, ..., dn todos los divisores de DE - BF. Así,
Ejemplo 2: Resolver 2xy + 5x + 56y + 7 = 0.
En este caso los divisores de DE - BF = 5*56 - 2*7 = 266 son: ±1, ±2, ±7, ±14, ±19, ±38, ±133, ±266.
Como (2x + 56) (2y + 5) = 266 obtenemos:
- d1 = 1: x = (1-56)/2 = -55/2, y = (266/1-5)/2 = 261/2
- d2 = -1: x = (-1-56)/2 = -57/2, y=[266/(-1)-5]/2 = 271/2
- d3 = 2: x = (2-56)/2 = -27, y = (266/2-5)/2 = 64
- d4 = -2: x = (-2-56)/2 = -29, y = [266/(-2)-5]/2 = -69
- d5 = 7: x = (7-56)/2 = -49/2, y = (266/7-5)/2 = 33/2
- d6 = -7: x = (-7-56)/2 = -63/2, y = [266/(-7)-5]/2 = -43/2
- d7 = 14: x = (14-56)/2 = -21, y = (266/14-5)/2 = 7
- d8 = -14: x = (-14-56)/2 = -35, y = [266/(-14)-5]/2 = -12
- d9 = 19: x = (19-56)/2 = -37/2, y = (266/19-5)/2 = 9/2
- d10 = -19: x = (-19-56)/2 = -75/2, y = [266/(-19)-5]/2 = -19/2
- d11 = 38: x = (38-56)/2 = -9, y = (266/38-5)/2 = 1
- d12 = -38: x = (-38-56)/2 = -47, y = [266/(-38)-5]/2 = -6
- d13 = 133: x = (133-56)/2 = 77/2, y = (266/133-5)/2 = -3/2
- d14 = -133: x = (-133-56)/2 = -189/2, y = [266/(-133)-5]/2 = -7/2
- d15 = 266: x = (266-56)/2 = 105, y = (266/266-5)/2 = -2
- d16 = -266: x = (-266-56)/2 = -161, y = [266/(-266)-5]/2 = -3
Sólo hay 8 soluciones a la ecuación pedida y son las que están marcadas en rojo.
Caso elíptico B2 - 4AC < 0
Como la elipse es una figura cerrada, la cantidad de soluciones será finita.
Operando con la ecuación cuadrática original:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Cy2 + (Bx + E)y + (Ax2 + Dx + F) = 0
y = -(Bx + E) ± (Bx + E)2 - 4C(Ax2 + Dx + F) 2C (*)
Para cualquier valor de x habrá dos valores de y excepto en los extremos izquierdo y derecho de la elipse. En este caso habrá sólo un valor de y. Para determinar la ubicación de los extremos debemos igualar la raíz cuadrada a cero, así la expresión devolverá sólo un valor de y.
(Bx + E)2 - 4C(Ax2 + Dx + F) = 0
(B2 - 4AC)x2 + 2(BE - 2CD)x + (E2 - 4CF) = 0
Así que los valores de x deberán estar entre las raíces de esta ecuación. Si las raíces no son reales, no habrá soluciones a la ecuación original, en caso contrario, deberemos reemplazar todos los valores enteros de x en el rango indicado en la ecuación (*) para poder encontrar un valor entero de y.
Ejemplo 3: Resolver 42x2 + 8xy + 15y2 + 23x + 17y - 4915 = 0.
Como B2 - 4AC = 82 - 4*42*15 = -2456 < 0 la ecuación es elíptica.
Los valores de x deberán estar entre las raíces de (B2 - 4AC)x2 + 2(BE - 2CD)x + (E2 - 4CF) = -2456x2 - 1108x + 295189 = 0. Las raíces valen -11,19... y 10,74..., así que deberemos verificar los valores de x en el rango de -11 a 10.
El único valor de x que reemplazado en (*) hace que y sea entero ocurre para x = -11, con lo que y = -1, por lo que ésta es la única solución al problema propuesto.
Caso parabólico B2 - 4AC = 0
Sean g = mcd(A,C), a = A/g ≥ 0, b = B/g, c = C/g ≥ 0.Como b2 = 4ac es positivo, podemos elegir g con el mismo signo de A. De esta manera a y c serán positivos (o alguno de los dos cero).
La expresión b2 - 4ac = 0 implica que b2/4 = ac. Como mcd(a,c) = 1, tanto a como c son cuadrados perfectos.
Multiplicando la ecuación original por :
g(ax2 + bxy + cy2) + Dx + Ey + F = 0
g(x + y)2 + Dx + Ey + F = 0
donde el signo de debe ser el mismo que el de B/A.
Sumando y restando Dy:
g(x + y)2 + D(x + y) - Dy + Ey + F = 0
Sea u = x + y: (i)
gu2 + Du + (E - D)y + F = 0
(D - E)y = gu2 + Du + F (ii)
Existen dos casos: D - E = 0 (dos líneas paralelas) o D - E ≠ 0 (una parábola).
En el primer caso, D - E = 0.
De (ii): gu2 + Du + F = 0
Como x e y deben ser números enteros, la ecuación (i) implica que el número u (la raíz de la última ecuación) también debe ser entero. Sean u1 y u2 las raíces de la ecuación.
De (i) resulta: x + y - u1 = 0 y x + y - u2 = 0 que se pueden resolver con los métodos explicados para la ecuación lineal.
En el segundo caso, gu2 + Du + F deberá ser múltiplo de D - E.
Sean u0, u1,... los valores de u en el rango 0 ≤ u < |D - E| en los cuales se cumple la condición anterior.
Así u = ui + (D - E)t, donde t es cualquier número entero. (iii)
Reemplazando (iii) en (ii):
(D - E)y = g[ui + (D - E)t]2 + D[ui + (D - E)t] + F
y = g(D - E)t2 + (D + 2gui)t + gui2 + Dui + F D - E
De (i) y (iii):
u = x + y = ui + (D - E)t
x = g(E - D)t2 + (D - E - 2gui - D)t + ui - gui2 + Dui + F D - E
x = g(E - D)t2 + (- E - 2gui)t + ui(D - E) - gui2 - Dui - F D - E
x = g(E - D)t2 + (- E - 2gui)t - gui2 + Eui + F D - E
y = g(D - E)t2 + (D + 2gui)t +
Ejemplo 4: Hallar las soluciones de 8 x2 - 24 xy + 18 y2 + 5x + 7y + 16 = 0
Debemos calcular los valores de g, a, c, , , D - E y gu2 + Du + F.
g = mcd(8, 18) = 2
a = 8/2 = 4
c = 18/2 = 9
= 2
= -3 (ya que B/A = -24/8 < 0)
D - E = -3 * 5 - 2 * 7 = -29 (segundo caso)
gu2 + Du + F = 4u2 + 5u + 32
Debemos determinar los valores de u en el rango 0 ≤ u < 29 para los cuales 4u2 + 5u + 32 sean múltiplos de 29.
Los valores de u son: u0 = 2 y u1 = 4.
Para u0 = 2:
x = -174 t2 - 17 t - 2
y = -116 t2 - 21 t - 2
Para u0 = 4:
x = -174 t2 - 41 t - 4
y = -116 t2 - 37 t - 4
Caso hiperbólico B2 - 4AC > 0
Contents
- Hallar soluciones de la ecuación homogénea Ax2 + Bxy + Cy2 + F = 0
- Hallar recurrencias entre las soluciones de la ecuación homogénea
- Hallar soluciones de la ecuación general cuadrática
- Hallar recurrencias entre las soluciones de la ecuación general cuadrática
Hallar soluciones de la ecuación homogénea Ax2 + Bxy + Cy2 + F = 0
Si F = 0 tenemos la solución trivial x = 0 e y = 0. Ahora investigaremos si hay más soluciones.Ax2 + Bxy + Cy2 = -F
Multiplicando por 4A:
4A2x2 + 4ABxy + 4ACy2 = -4AF
4A2x2 + 4ABxy + B2y2 - B2y2 + 4ACy2 = -4AF
(2Ax + By)2 - (B2 - 4AC)y2 = -4AF
Esto se puede interpretar como una diferencia de cuadrados:
(2Ax + By + B2 - 4AC y) (2Ax + By - B2 - 4AC y) = -4AF
(2Ax + (B + B2 - 4AC )y) (2Ax + (B - B2 - 4AC )y) = -4AF
Como -4AF = 0, la condición para tener más soluciones es que B2 - 4AC sea un cuadrado perfecto.
Para hallar las soluciones en este caso se puede utilizar el método para las ecuaciones lineales (porque la ecuación se puede representar en el plano xy mediante dos líneas rectas que se intersectan en el punto (0, 0)).
Si F ≠ 0 y B2 - 4AC = k2 para algún entero k, los paréntesis en la ecuación anterior deben ser factores de -4AF.
Sean u1, u2,... los divisores positivos y negativos de -4AF.
Entonces tenemos el siguiente conjunto de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas:
2Ax + (B+k)y = ui
2Ax + (B-k)y = -4AF/ui
Por lo tanto:
y = ui + 4AF/ui 2k
x = ui - (B+k)y 2A
Debemos descartar los valores de ui que hagan x o y no enteros.
Consideraremos ahora el caso F ≠ 0 y B2 - 4AC no un cuadrado perfecto.
Si F no es múltiplo de mcd(A, B, C), la ecuación no tiene soluciones, de otra manera podemos dividir todos los coeficientes de la ecuación por este mcd.
Si 4 F2 < B2 - 4AC, la solución de la ecuación estará entre los convergentes de la fracción continua de las raíces de la ecuación At2 + Bt + C = 0.
Como el desarrollo en fracción continua de una irracionalidad cuadrática es periódica, si B2 - 4AC no es un cuadrado perfecto la cantidad de soluciones será infinita o ninguna.
Por otra parte, si 4 F2 ≥ B2 - 4AC las soluciones se pueden obtener como sigue:
Sean G = mcd(x,y), x = Gu e y = Gv.
La ecuación original se convierte en: AG2u2 + BG2uv + CG2v2 + F = 0, así que F será múltiplo de G2.
Dividiendo la ecuación por G2:
Au2 + Buv + Cv2 + F/G2 = 0 (1).
Una vez hallados los valores de u y v, podemos determinar fácilmente x = Gu e y = Gv.
Así que podemos asumir que mcd(x,y) = 1.
Sea x = sy - Fz (2).
Reemplazando en la ecuación original:
A(sy - Fz)2 + B(sy - Fz)y + Cy2 + F = 0
As2y2 - 2AFsyz + AF2z2 + Bsy2 - BFyz + Cy2 = -F
(As2 + Bs + C) y2 + (-2As - B)Fyz + AF2z2 = - F
Dividiendo por -F:
-(As2 + Bs + C) y2 / F + (2As + B)yz - AFz2 = 1 (3)
Ahora debemos determinar los valores de s entre 0 y F - 1 tales que As2 + Bs + C ≡ 0 (mod F). Una vez que los valores de y y z se determinan usando el desarrollo en fracción continua de las raíces de -(As2 + Bs + C) t2 / F + (2As + B)t - AF = 0, el valor de x se determina mediante (2). Si no se encuentran soluciones entre los convergentes, no habrá soluciones a (1).
Si la ecuación original tiene soluciones, entonces debe haber una solución a la congruencia anterior, excepto cuando mcd(A,B,F) > 1. En este caso, si mcd(B,C,F) = 1 debemos hacer la sustitución y = sx - Fz (4). Reemplazando en la ecuación original:
Ax2 + Bx(sx - Fz) + C(sx - Fz)2 + F = 0
Ax2 + Bsx2 - BFxz + Cs2x2 - 2CFsxz + CF2z2 = -F
(Cs2 + Bs + A) x2 + (-2Cs - B)Fxz + CF2z2 = - F
Dividiendo por -F:
-(Cs2 + Bs + A) x2 / F + (2Cs + B)xz - CFz2 = 1 (5).
Ahora debemos determinar los valores de s entre 0 y F - 1 tales que Cs2 + Bs + A ≡ 0 (mod F). Una vez determinados los valores de x y z usando el desarrollo en fracción continua de las raíces de -(Cs2 + Bs + A) t2 / F + (2Cs + B)t - CF = 0, el valor de y se determina mediante (4). Si no se encuentran soluciones entre los convergentes, no habrá soluciones a (1).
Las ecuaciones (4) y (5) no tienen soluciones cuando mcd(A,B,F) y mcd(B,C,F) son ambos mayores que 1. En este caso usaremos el siguiente método:
Sean i, j, m y n cuatro números enteros tales que in - jm = 1 (6).
Si x = iX + jY e y = mX + nY (7) obtenemos X = nx - jy e Y = -mx + iy (8).
Como esta transformación es reversible, podemos convertir cualquier (x,y) en (X,Y) y viceversa. Así que trabajaremos con (X,Y) y con estas soluciones calcularemos los valores de (x,y) que satisfagan la ecuación original.
Ax2 + Bxy + Cy2 =
= A(iX+jY)2 + B(iX+jY)(mX+nY) + C(mX+nY)2 =
= aX2 + bXY + cY2
donde:
a = Ai2 + Bim + Cm2 (9)
b = 2Aij + Bin + Bjm + 2Cmn (10)
c = Aj2 + Bjn + Cn2 (11)
Debemos hallar los valores de i y m tales que a = Ai2 + Bim + Cm2 sea relativamente primo a F.
Como mcd(C, F) > 1 resulta mcd(Ai2 + Bim + Cm2, C) = 1, así mcd(i, C) = 1 y mcd(Ai+Bm, C) = 1.
Como mcd(A, F) > 1 resulta mcd(Ai2 + Bim + Cm2, A) = 1, así mcd(m, A) = 1 y mcd(Bi+Cm, A) = 1.
De (6), mcd(i, m) = 1.
Si F ≡ 0 (mod p) (p primo):
A | B | C | i, m | Ejemplos |
---|---|---|---|---|
A ≡ 0 | B ≡ 0 | C ≡ 0 | No se aplica (mcd(A, B, C) = 1) | |
A ≡ 0 | B ≡ 0 | C | m | i ≡ 0, m ≡ 1 |
A ≡ 0 | B | C ≡ 0 | i | i ≡ 1, m ≡ 1 |
A ≡ 0 | B | C | m | i ≡ 1-C, m ≡ B |
A | B ≡ 0 | C ≡ 0 | i | i ≡ 1, m ≡ 0 |
A | B ≡ 0 | C | i | i ≡ 1, m ≡ 1 |
A | B | C ≡ 0 | i | i ≡ B, m ≡ 1-A |
A | B | C | i | i ≡ 1, m ≡ 1 |
Aunque se pueden generar los valores de i y m a partir de sus valores modulo primos diferentes, es muy tedioso y no es necesario, porque de la tabla que se acaba de mostrar, se pueden utilizar casi todos los valores de i y m, por lo que es mejor utilizar el siguiente pseudocódigo para poder hallar ambos valores:
for i=0 to |F|-1
for m=0 to i+1
if gcd(i, m) = 1
k = Ai2 + Bim + Cm2
if gcd(k, F) = 1, end.
end if
next m
next i
Con los valores de i y m que se acaban de hallar, podemos calcular los valores de j y n mediante (6) usando los métodos para la ecuación lineal. Luego debemos calcular a, b y c usando (9), (10) y (11), para poder hallar el conjunto de soluciones (X,Y). Con la fórmula (7) podemos hallar el conjunto de soluciones (x,y).
Créditos:
Este método me lo envió Iain Davidson por correo electrónico. Yo introduje algunos cambios.
Ejemplo 5: Encontrar algunas soluciones de 18 x2 + 41 xy + 19 y2 - 24 = 0
Lo primero que se debe hacer es determinar el mcd de todos los coeficientes excepto el independiente, esto es: mcd(18, 41, 19) = 1.
Dividiendo la ecuación por el máximo común divisor obtenemos:
18 x2 + 41 xy + 19 y2 - 24 = 0
Nos encontramos en el caso 4f2 ≥ b2 - 4ac.
Sea x = sy - fz, luego [-(as2 + bs + c)/f]y2 + (2sa + b)yz - afz2 = 1.
Así 18 s2 + 41 s + 19 debe ser múltiplo de 24.
Esto se cumple para s = 19.
- Sea s = 19. Reemplazando en la ecuación indicada arriba:
304 y2 + 725 yz + 432 z2 = 1Debemos hallar el desarrollo en fracción continua de las raíces de 304 t2 + 725 t + 432 = 0, esto es, t = √313 - 725 608
El desarrollo en fracciones continuas es:
-2 + //1, 5, 8, 5, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 2, 17, 2, 1//donde la parte periódica está marcada en negrita (el período tiene 19 coeficientes).
La siguiente tabla muestra como se hallan los valores de Y0 y Z0 (en la tercera columna se encuentran los valores de P(y, z) = 304 y2 + 725 yz + 432 z2):
Términos de la fracción continua y convergentes cn yn zn P(yn, zn) 1 0 -2 -2 1 198 1 -1 1 11 5 -7 6 -2 8 -57 49 3 5 -292 251 -12 1 -349 300 4 3 -1339 1151 -9 1 -1688 1451 8 1 -3027 2602 -6 2 -7742 6655 6 2 -18511 15912 -8 1 -26253 22567 9 1 -44764 38479 -4 3 -160545 138004 12 1 -205309 176483 -3 5 -1 187090 1 020419 2 8 -9 702029 8 339835 -11 1 -10 889119 9 360254 6 2 -31 480267 27 060343 -1 17 -546 053658 469 386085 6 2 -1123 587583 965 832513 -11 1 -1669 641241 1435 218598 2 8 -14480 717511 12447 581297 -3 5 -74073 228796 63673 125083 12 1 -88553 946307 76120 706380 -4 3 -339735 067717 292035 244223 9 1 -428289 014024 368155 950603 -8 1 -768024 081741 660191 194826 6 2 -1 964337 177506 1 688538 340255 -6 2 -4 696698 436753 4 037267 875336 8 1 -6 661035 614259 5 725806 215591 -9 1 -11 357734 051012 9 763074 090927 4 3 -40 734237 767295 35 015028 488372 -12 1 -52 091971 818307 44 778102 579299 3 5 -301 194096 858830 258 905541 384867 -2 8 -2461 644746 688947 2116 022433 658235 11 1 -2762 838843 547777 2374 927975 043102 -6 2 -7987 322433 784501 6865 878383 744439 1 17 -138547 320217 884294 119094 860498 698565 -6 2 -285081 962869 553089 245055 599381 141569 11 1 -423629 283087 437383 364150 459879 840134 -2 Nótese que yn = cn yn-1 + yn-2 y zn = cn zn-1 + zn-2.
Los signos en la tercera columna son alternados, así que los números se repetirán después de una cantidad par de convergentes. Por lo tanto deberemos considerar dos períodos si la longitud del período es impar. Si es par, sólo debemos considerar un período. Con estas soluciones y la recurrencia que será desarrollada en la próxima sección, obtendremos todas las soluciones de la ecuación homogénea.
Y0 = -7987 322433 784501 16
Z0 = 6865 878383 744439 16
Como X0 = 19 Y0 + 24 Z0:
X0 = 13021 954967 961017 17
Y0 = -7987 322433 784501 16Como la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + F = 0 no cambia cuando x se reemplaza por -x e y se reemplaza por -y simultáneamente, tenemos otra solución:
X0 = -13021 954967 961017 17
Y0 = 7987 322433 784501 16Ahora debemos considerar el desarrollo en fracción continua de la otra raíz: t = - √313 + 725 608
Esto es -2 + //1, 3, 1, 1, 17, 2, 1, 8, 5, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 2// (el período tiene 19 coeficientes).
La siguiente tabla muestra cómo se hallan los valores de Y0 y Z0 (en la tercera columna se encuentran los valores de P(y, z) = 304 y2 + 725 yz + 432 z2):
Términos de la fracción continua y convergentes cn yn zn P(yn, zn) 1 0 -2 -2 1 198 1 -1 1 11 3 -5 4 12 1 -6 5 -6 1 -11 9 1 17 -193 158 -6 2 -397 325 11 1 -590 483 -2 8 -5117 4189 3 5 -26175 21428 -12 Esta tabla no es completa, pero no hay soluciones en la sección no mostrada.
Y0 = 11
Z0 = -9
Como X0 = 19 Y0 + 24 Z0:X0 = -7
Y0 = 11
X0 = 7
Y0 = -11
Debemos hallar el desarrollo en fracción continua de las raíces de 18 t2 + 41 t + 19 = 0, esto es, t = √313 - 41 38
El desarrollo es:
-1 + //2, 1, 5, 8, 1, 2, 17, 2, 1, 8, 5, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 3//
donde la parte periódica está marcada en negrita (el período tiene 19 coeficientes).
La siguiente tabla muestra cómo se hallan los valores de U0 y V0 (en la tercera columna se encuentran los valores de P(u, v) = 18 u2 + 41 uv + 19 v2):
cn | un | vn | P(un, vn) |
---|---|---|---|
1 | 0 | ||
-1 | -1 | 1 | -4 |
2 | -1 | 2 | 12 |
1 | -2 | 3 | -3 |
5 | -11 | 17 | 2 |
8 | -90 | 139 | -11 |
1 | -101 | 156 | 6 |
2 | -292 | 451 | -1 |
17 | -5065 | 7823 | 6 |
2 | -10422 | 16097 | -11 |
1 | -15487 | 23920 | 2 |
8 | -134318 | 207457 | -3 |
5 | -687077 | 1 061205 | 12 |
1 | -821395 | 1 268662 | -4 |
3 | -3 151262 | 4 867191 | 9 |
1 | -3 972657 | 6 135853 | -8 |
1 | -7 123919 | 11 003044 | 6 |
2 | -18 220495 | 28 141941 | -6 |
2 | -43 564909 | 67 286926 | 8 |
1 | -61 785404 | 95 428867 | -9 |
1 | -105 350313 | 162 715793 | 4 |
3 | -377 836343 | 583 576246 | -12 |
1 | -483 186656 | 746 292039 | 3 |
5 | -2793 769623 | 4315 036441 | -2 |
8 | -22833 343640 | 35266 583567 | 11 |
1 | -25627 113263 | 39581 620008 | -6 |
2 | -74087 570166 | 114429 823583 | 1 |
17 | -1 285115 806085 | 1 984888 620919 | -6 |
2 | -2 644319 182336 | 4 084207 065421 | 11 |
1 | -3 929434 988421 | 6 069095 686340 | -2 |
8 | -34 079799 089704 | 52 636972 556141 | 3 |
5 | -174 328430 436941 | 269 253958 467045 | -12 |
1 | -208 408229 526645 | 321 890931 023186 | 4 |
3 | -799 553119 016876 | 1234 926751 536603 | -9 |
1 | -1007 961348 543521 | 1556 817682 559789 | 8 |
1 | -1807 514467 560397 | 2791 744434 096392 | -6 |
2 | -4622 990283 664315 | 7140 306550 752573 | 6 |
2 | -11053 495034 889027 | 17072 357535 601538 | -8 |
1 | -15676 485318 553342 | 24212 664086 354111 | 9 |
1 | -26729 980353 442369 | 41285 021621 955649 | -4 |
3 | -95866 426378 880449 | 148067 728952 221058 | 12 |
Como se explicó arriba, x = 2u e y = 2v, así que:
Y0 = 312
Y0 = -312
Y0 = 15646
Y0 = -15646
Y0 = 22 006088 8
Y0 = -22 006088 8
Y0 = 14280 613101 505146 17
Y0 = -14280 613101 505146 17
La otra raíz de la ecuación 18 t2 + 41 t + 19 = 0 es t = - √313 + 41 38
Su desarrollo en fracción continua es:
-2 + //2, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 2, 17, 2, 1, 8, 5, 1, 3, 1//
donde la parte periódica está marcada en negrita (el período tiene 19 coeficientes).
La siguiente table muestra cómo se hallan los valores de U0 y V0 (en la tercera columna se encuentran los valores de P(u, v) = 18 u2 + 41 uv + 19 v2):
cn | un | vn | P(un, vn) |
---|---|---|---|
1 | 0 | ||
-2 | -2 | 1 | 9 |
2 | -3 | 2 | -8 |
1 | -5 | 3 | 6 |
2 | -13 | 8 | -6 |
2 | -31 | 19 | 8 |
1 | -44 | 27 | -9 |
1 | -75 | 46 | 4 |
3 | -269 | 165 | -12 |
1 | -344 | 211 | 3 |
5 | -1989 | 1220 | -2 |
8 | -16256 | 9971 | 11 |
1 | -18245 | 11191 | -6 |
2 | -52746 | 32353 | 1 |
17 | -914927 | 561192 | -6 |
2 | -1 882600 | 1 154737 | 11 |
1 | -2 797527 | 1 715929 | -2 |
8 | -24 262816 | 14 882169 | 3 |
5 | -124 111607 | 76 126774 | -12 |
1 | -148 374423 | 91 008943 | 4 |
3 | -569 234876 | 349 153603 | -9 |
1 | -717 609299 | 440 162546 | 8 |
1 | -1286 844175 | 789 316149 | -6 |
2 | -3291 297649 | 2018 794844 | 6 |
2 | -7869 439473 | 4826 905837 | -8 |
1 | -11160 737122 | 6845 700681 | 9 |
1 | -19030 176595 | 11672 606518 | -4 |
3 | -68251 266907 | 41863 520235 | 12 |
1 | -87281 443502 | 53536 126753 | -3 |
5 | -504658 484417 | 309544 154000 | 2 |
8 | -4 124549 318838 | 2 529889 358753 | -11 |
1 | -4 629207 803255 | 2 839433 512753 | 6 |
2 | -13 382964 925348 | 8 208756 384259 | -1 |
17 | -232 139611 534171 | 142 388292 045156 | 6 |
2 | -477 662187 993690 | 292 985340 474571 | -11 |
1 | -709 801799 527861 | 435 373632 519727 | 2 |
8 | -6156 076584 216578 | 3775 974400 632387 | -3 |
5 | -31490 184720 610751 | 19315 245635 681662 | 12 |
1 | -37646 261304 827329 | 23091 220036 314049 | -4 |
3 | -144428 968635 092738 | 88588 905744 623809 | 9 |
1 | -182075 229939 920067 | 111680 125780 937858 | -8 |
Como se explicó arriba, x = 2u e y = 2v, así que:
Y0 = -6
Y0 = 6
Y0 = -4037 589688 10
Y0 = 4037 589688 10
Y0 = -5 678867 025506 13
Y0 = 5 678867 025506 13
Y0 = -284 776584 090312 15
Y0 = 284 776584 090312 15
Hallar recurrencias entre las soluciones de la ecuación homogénea
Ahora que se encontraron algunas soluciones de la ecuación original, hallaremos otras soluciones, de hecho, una familia de infinitas soluciones, donde:Xn+1 = P Xn + Q Yn
Yn+1 = R Xn + S Yn
donde se deben determinar P, Q, R y S.
Sea M(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 = M y N(u, v) = u2 + Buv + ACv2 = N.
M(p, q) = Ap2 + Bpq + Cq2
M(p, q)/A = p2 + (B/A)pq + (C/A)q2
M(p, q)/A = p2 + Dpq + Eq2
M(p/q, 1)/A = (p/q)2 + D(p/q) + E (12)
Las raíces de M(p/q, 1)/A = (p/q - J) (p/q - J') = 0 (13) son:
J = -B + B2 - 4AC 2A y J' = -B - B2 - 4AC 2A
Se puede mostrar fácilmente igualando (12) y (13) que:
J2 = -DJ - E (14)
J'2 = -DJ' - E (15)
J + J' = -D (16)
JJ' = E (17)
Las raíces de N(p/q, 1) = (p/q - K) (p/q - K') = 0 son:
K = -B + B2 - 4AC 2A y K' = -B - B2 - 4AC 2A
así que K = AJ, K' = AJ' (18)
M(p, q)/A = (p - Jq)(p - J'q) = M (19)
N(r, s) = (r - Ks)(r - K's) = N (20)
De (18) obtenemos:
(p - Jq)(r - Ks) = (p - Jq)(r - AJs) = (pr - AJps - Jqr + AJ2qs)
De (14) resulta:
[pr - AJps - Jqr + A(-DJ - E)qs] = (pr - AEqs) - (Aps + qr + AEqs)J = (pr - Cqs) - (Aps + qr + Bqs)J (21)
De (18) obtenemos:
(p - J'q)(r - K's) = (p - J'q)(r - AJ's) = (pr - AJ'ps - J'qr + AJ'2qs)
De (15) resulta:
[pr - AJ'ps - J'qr + A(-DJ' - E)qs] = (pr - AEqs) - (Aps + qr + AEqs)J' = (pr - Cqs) - (Aps + qr + Bqs)J' (22)
Sean X = pr - Cqs e Y = Aps + qr + Bqs (23).
Multiplicando (21) por (22) obtenemos:
(M(p, q)/A) N(r, s) = (X - YJ) (X - YJ') = X2 - (J + J')XY + JJ'Y2
Multiplicando las ecuaciones (16) y (17) obtenemos: (M(p, q)/A) N(r, s) = X2 + DY + EY2
Multiplicando por A obtenemos (de (19) y (20)):
AX2 + BXY + CY2 = MN
Haciendo M = -F y N = 1 podemos observar que X e Y también son soluciones de la ecuación original.
Sea r y s una solución a N(r, s) = r2 + Brs + ACs2 = 1,
Xn = p, Yn = q, Xn+1 = X e Yn+1 = Y (ya que los dos últimos pares de números son soluciones de la ecuación original).
De (23) obtenemos:
Xn+1 = rXn - CsYn+1
Yn+1 = AsXn + rYn+1 + BsYn+1
Esto significa que:
Xn+1 = P Xn + Q Yn
Yn+1 = R Xn + S Yn
P = r (24)
Q = -Cs (25)
R = As (26)
S = r + Bs (27)
donde
r2 + Brs + ACs2 = 1 (28)
Créditos: Este método me lo envió Iain Davidson. Yo hice algunas modificaciones.
Hallar soluciones de la ecuación cuadrática general
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0Multiplicando la ecuación por 4A:
4A2x2 + 4ABxy + 4ACy2 + 4ADx + 4AEy + 4AF = 0
(2Ax + By + D)2 - (By + D)2 + 4ACy2 + 4AEy + 4AF = 0
(2Ax + By + D)2 + (4AC - B2)y2 + (4AE - 2BD)y + (4AF - D2) = 0
Sea x1 = 2Ax + By + D
y g = mcd(4AC - B2, 2AE - BD).
Multiplicando por 4AC - B2 g :
4AC - B2 g x12 + (4AC - B2)2 g y2 + 2(4AC - B2) (2AE - BD) g y + (4AC - B2) (4AF - D2) g = 0
4AC - B2 g x12 + g y12 + (4AC - B2) (4AF - D2) - (2AE - BD)2 g = 0
4AC - B2 g x12 + g y12 + 4A(4ACF - AE2 - B2F + BDE - CD2) g = 0
donde:
y1 = 4AC - B2 g y + 2AE - BD g
Hallar recurrencias entre las soluciones de la ecuación cuadrática general
Ahora asumiremos que las soluciones tendrán la forma:Xn+1 = P Xn + Q Yn + K
Yn+1 = R Xn + S Yn + L
Reemplazando en la ecuación original x por Px + Qy + K e y por Rx + Sy + L:
A(Px + Qy + K)2 + B(Px + Qy + K) (Rx + Sy + L) + C(Rx + Sy + L)2 + D(Px + Qy + K) + E(Rx + Sy + L) + F = 0
(AP2 + BPR + CR2)x2 + (2APQ + B(PS+QR) + 2CRS)xy + (AQ2 + BQS + CS2)y2 + (2AKP + B(KR+LP) + 2CLR + DP + ER)x + (2AKQ + B(KS+LQ) + 2CLS + DQ + ES)y + (AK2 + BKL + CL2 + DK + EL + F) = 0 (29)
Ahora investigaremos los valores dentro de los paréntesis.
- De (24) y (26):
AP2 + BPR + CR2 = Ar2 + BrAs + CA2s2 = A(r2 + Brs + ACs2)
De la ecuación (28):
AP2 + BPR + CR2 = A (30)
- De (24) a (27):
2APQ + B(PS+QR) + 2CRS = 2Ar(-Cs) + B[r(r+Bs)+(-Cs)As] + 2CAs(r+Bs) = -2ACrs + B(r2+Bs-ACs2) + 2ACrs + 2ABCs2 = B(r2+Bs+ACs2)
De la ecuación (28):
2APQ + B(PS+QR) + 2CRS = B (31)
- De (25) y (27):
AQ2 + BQS + CS2 = AC2s2 + B(-Cs)(r+Bs) + C(r+Bs)2 = AC2s2 - BCrs - B2Cs2 + Cr2 + 2BCrs + B2Cs2 = AC2 + BCrs + Cr2 = C(r2 + Brs + ACs2)
De la ecuación (28):
AQ2 + BQS + CS2 = C (32)
Esto significa que 2AKP + B(KR+LP) + 2CLR + DP + ER = D y 2AKQ + B(KS+LQ) + 2CLS + DQ + ES = E.
Estas dos ecuaciones equivalen a:
(2AP+BR)K + (BP+2CR)L = -D(P-1) - ER
y (2AQ+BS)K + (BQ+2CS)L = -DQ - E(S-1)
Resolviendo el sistema de ecuaciones en K y L:
K = D[BQ - 2C(PS-QR-S)] + E[B(PS-RQ-P) - 2CR] 4AC (PS - QR) + B2 (QR - PS)
L = D[B(PS-RQ-S) - 2AQ] + E[BR - 2A(PS-RQ-P)] 4AC (PS - QR) + B2 (QR - PS)
Como PS - QR = r(r+Bs) - (-Cs)As = r2 + Brs + ACs2 = 1, estas ecuaciones se pueden simplificar a:
K =
D[BQ - 2C(1-S)] + E[B(1-P) - 2CR]
4AC - B2
L =
D[B(1-S) - 2AQ] + E[BR - 2A(1-P)]
4AC - B2
Ahora debemos mostrar que la expresión dentro del paréntesis derecho de (29) es igual a F. Esto significa que tenemos que probar que los valores de K y L recién hallados verifican la ecuación Z = AK2 + BKL + CL2 + DK + EL = 0 (33).
El desarrollo es muy complicado y no se reproducirá aquí, pero afortunadamente es múltiplo de 4AC-B2, así que se cancela el cuadrado en el denominador, que es (4AC-B2)2.
Esto significa que Z(4AC-B2) es un número entero e igual a:
AD2Q2 - 2ADEPQ + AE2P2 - AE2 + BD2QS - BDEPS - BDEQR + BDE + BE2PR + CD2S2 - CD2 - 2CDERS + CE2R2
Reordenando términos:
AD2Q2 + BD2QS + CD2S2 - CD2 - 2ADEPQ - BDEPS - BDEQR - 2CDERS + BDE + AE2P2 + BE2PR + CE2R2 - AE2
D2(AQ2 + BQS + CS2) - CD2 - DE(2APQ + BPS + BQR + 2CRS) + BDE + E2(AP2 + BPR + CR2) - AE2
De (30), (31) y (32):
Z(4AC-B2) = CD2 - CD2 - BDE + BDE + AE2 - AE2 = 0
Esto significa que Z = 0, así que (33) se cumple, luego (29) se cumple también.
Sea K = KDD + KEE 4AC - B2 y L = LDD + LEE 4AC - B2 (34)
Para continuar simplificando las expresiones debemos notar lo siguiente:
KD = BQ - 2C(1 - S)
KD = B(-Cs) - 2C(1 - r - Bs)
KD = -BCs - 2C + 2Cr + 2BCs
KD = C(-2 + 2r + Bs) (35)
KD = C(P + S - 2)
LE = BR - 2A(1 - P)
LE = ABs - 2A + 2Ar
LE = A(-2 + 2r + Bs)
LE = A(P + S - 2)
KE = B(1 - P) - 2CR
KE = B(1 - r) - 2ACs
KE = B - Br - 2ACs (36)
LD = B(1 - S) - 2AQ
LD = B(1 - r - Bs) + 2ACs
LD = B - Br - B2s + 2ACs
LD - KE = (4AC - B2)s (37)
Así que:
K =
CD(P+S-2) + E(B-Br-2ACs)
4AC - B2
L =
D(B-Br-2ACs) + AE(P+S-2)
4AC - B2
+ Ds
Generalmente los numeradores no serán múltiplos de 4AC - B2, así que usando esta fórmula no podremos hallar una recurrencia para todos los valores de D y E.
Para algunos valores de D y E habrá soluciones, como se muestra a continuación. Usando las ecuaciones (24) - (27):
KDLE - KELD = 4ACr2 + 4ABCrs + 4A2C2s2 - B2r2 - B3rs - AB2Cs2 - 4ABCs - B3s + 4AC - B2 - 8ACr + 2B2r =
= (4AC - B2) (r2 + Brs + ACs2) - (4AC - B2)Bs + (4AC - B2) - (4AC - B2)2r =
= (4AC - B2) (2 - 2r - Bs)
Los signos igual que figuran a continuación indican congruencia mod 4AC - B2.
KDLE - KELD = 0 => KD/KE = LD/LE (38)
Como K y L deben ser enteros, de (34):
KDD + KEE = 0 => E = (-KD/KE)D (39)
LDD + LEE = 0 => E = (-LD/LE)D
Estas ecuaciones son consistentes debido a la ecuación (38).
En algunos casos (véase ejemplo 6) podemos hallar una recurrencia utilizando las soluciones -r y -s ya que (-r)2 + B(-r)(-s) + AC(-s)2 = r2 + Brs + ACs2 = 1.
Si no se encuentran soluciones (como en el ejemplo 7), debemos usar el siguiente par de soluciones (r1, s1) de r2 + Brs + ACs2 = 1 porque en este caso siempre se podrán hallar soluciones como se muestra a continuación.
Primero debemos hallar r1 y s1 de r y s. Para hacerlo usaremos las fórmulas (24) - (28).
r1 = r r + (-ACs)s = r2 - ACs2
s1 = s r + (r + Bs)s = 2rs + Bs2
Ahora reemplazaremos los valores de r y s por r1 y s1.
De (24): P1 = r1 = r2 - ACs2
De (25): Q1 = -Cs1 = -C(2rs + Bs2)
De (26): R1 = As1 = A(2rs + Bs2)
De (27): S1 = r1 + Bs1 = r2 + 2Brs + (B2 - AC)s2
De (35):
K1D = C(-2 + 2r1 + Bs1)
K1D = C[-2 + 2(r2 - ACs2) + B(2rs + Bs2)]
K1D = C[-2 + 2(r2 + Brs + ACs2) - 4ACs2 + B2s2]
K1D = C[-2 + 2 + (B2 - 4AC)s2]
K1D = (B2 - 4AC)Cs2
De (36):
K1E = B - Br1 - 2ACs1
K1E = B - Br2 + ABCr2 - 4ACrs - 2ABCr2
K1E = B - B(r2 + ACs2) - 4ACrs
K1E = B - B(r2 + ACs2 + Brs - Brs) - 4ACrs
K1E = B - B(1 - Brs) - 4ACrs
K1E = (B2 - 4AC)rs
De (37):
L1D - K1E = (4AC - B2)s1
L1D = (B2 - 4AC) (rs - 2rs - Bs2)
L1D = (B2 - 4AC) (-rs - Bs2)
Por lo tanto:
K1 = K1DD + K1EE 4AC - B2 = -CDs2 - Ers
L1 = L1DD + L1EE 4AC - B2 = Ds(r + Bs) - AEs2
Así, finalmente:
Xn+1 = (r2 - ACs2)Xn - Cs(2r+Bs)Yn - CDs2 - Ers (40)
Yn+1 = As(2r+Bs)Xn + [r2 + 2Brs + (B2-AC)s2]Yn + Ds(r+Bs) - AEs2 (41)
Nótese que en este caso, para hallar las soluciones usando el método de las fracciones continuas, debemos calcular dos períodos completos si la longitud del período es par y cuatro si es impar.
Ejemplo 6: 3x2 + 13xy + 5y2 + Dx + Ey + F = 0
La primera solución de r2 + Brs + ACs2 = r2 + 13 rs + 15 s2 = 1 usando el método de la fracción continua es r = -8351 y s = 6525.
P = r = -8351
Q = -Cs = -32625
R = As = 19575
S = r + Bs = 76474
K = CD(P+S-2) + E(B-Br-2ACs) 4AC-B2 = -340605 109 D + 87174 109 E
L = D(B-Br-2ACs) + AE(P+S-2) 4AC-B2 + Ds = 798399 109 D - 204363 109 E
El numerador de K (o L) no es múltiplo del denominador (4AC - B2 = -109), así que no hay recurrencia con los valores de P, Q, R, S mostrados arriba, excepto para casos especiales (de acuerdo a (39), cuando E ≡ 93 D (mod 109)).
Usando la solución r = 8351, s = -6525 obtenemos:
P = r = 8351
Q = -Cs = 32625
R = As = -19575
S = r + Bs = -76474
K = CD(P+S-2) + E(B-Br-2ACs) 4AC-B2 = 3125 D - 800 E
L = D(B-Br-2ACs) + AE(P+S-2) 4AC-B2 + Ds = -7325 D + 1875 E
Así que la recurrencia entre soluciones es:
Xn+1 = 8351 Xn - 32625 Yn + (3125 D - 800 E)
Yn+1 = -19575 Xn - 76474 Yn + (-7325 D + 1875 E)
Verificación: Sabiendo que x = 2, y = 3 es una solución de 3x2 + 13xy + 5y2 - 11x - 7y - 92 = 0, encontrar otras dos soluciones.
Reemplazando D = -11 y E = -7 en las ecuaciones anteriores:
Xn+1 = 8351 Xn - 32625 Yn - 28775
Yn+1 = -19575 Xn + 76474 Yn + 67450
Así que reemplazando aquí X0 = 2 e Y0 = 3, hallamos X1 = 85802 e Y1 = -201122.
y reemplazando X1 = 85802 e Y1 = -201122, hallamos X2 = -5845 101523 e Y2 = 13701 097128.
Reemplazando estos valores en la ecuación original podemos verificar que estos valores son correctos.
Ejemplo 7: 3x2 + 14xy + 6y2 + Dx + Ey + F = 0
La primera solución de r2 + Brs + ACs2 = r2 + 14 rs + 18 s2 = 1 usando el método de la fracción continua es r = -391 y s = 273.
P = r = -391
Q = -Cs = -1638
R = As = 819
S = r + Bs = 3431
K = CD(P+S-2) + E(B-Br-2ACs) 4AC-B2 = -147 D + 35 E
L = D(B-Br-2ACs) + AE(P+S-2) 4AC-B2 + Ds = 308 D - 147 2 E
El numerador de L no es múltiplo del denominador (4AC - B2 = -124), así que no hay recurrencia con los valores de P, Q, R, S mostrados arriba, excepto para casos especiales (cuando E es par).
Usando la solución r = 391, s = -273 obtenemos:
P = r = 391
Q = -Cs = 1638
R = As = -819
S = r + Bs = -3431
K = CD(P+S-2) + E(B-Br-2ACs) 4AC-B2 = -4563 31 D - 1092 31 E
L = D(B-Br-2ACs) + AE(P+S-2) 4AC-B2 + Ds = 4563 62 D - 9555 31 E
El numerador de K (o L) no es múltiplo del denominador (4AC - B2 = -124), así que no hay recurrencia con los valores de P, Q, R, S mostrados arriba, excepto para casos especiales.
Usando (40) y (41):
P1 = r2 - ACs2 = -1188641
Q1 = -Cs(2r+Bs) = -4979520
R1 = As(2r+Bs) = 2489760
S1 = r2 + 2Brs + (B2-AC)s2 = 10430239
K1 = -CDs2 - Ers = -106743 D + 447174 E
L1 = Ds(r+Bs) - AEs2 = 936663 D - 223587 E
Así que la recurrencia entre soluciones es:
Xn+1 = -1188641 Xn - 4979520 Yn + (106743 D - 447174 E)
Yn+1 = 2489760 Xn + 10430239 Yn + (936663 D - 223587 E)
Verificación: Sabiendo que x = 4, y = 7 es una solución de 3x2 + 14xy + 6y2 - 17x - 23y - 505 = 0, hallar otras dos soluciones.
Reemplazando D = -17 y E = -23 en las ecuaciones previas:
Xn+1 = -1188641 Xn - 4979520 Yn + 5146869
Yn+1 = 2489760 Xn + 10430239 Yn - 10780770
Así que reemplazando aquí X0 = 4 e Y0 = 7, hallamos X1 = -34 464335 e Y1 = 72 189943.
y reemplazando X1 = -34 464335 e Y1 = 72 189943, hallamos X2 = -318 505538 201756 e Y2 = 667 150425 396007.
Reemplazando estos valores en la ecuación original podemos verificar que estos valores son correctos.
Programas que usan estos métodos
Escribí un programa que usa estos métodos:
Siga el enlace para correr un programa Java compatible con Internet Explorer y Firefox.
El programa funciona en dos modos: sólo solución y paso a paso. En este modo, el programa muestra cómo se hallan los resultados.
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Última modificación: 2 de mayo de 2016.