¿Puede notar algún patrón en este gráfico? No lo creerá al principio pero está generado usando números primos.

Para poder hacerlo, los números se colocan en una espiral, como se muestra a continuación.

13 -- 12 -- 11 -- 10    25
|                 |     |
14    03 -- 02    09    24
|     |     |     |     |
15    04    01    08    23
|     |           |     |
16    05 -- 06 -- 07    22
|                       |
17 -- 18 -- 19 -- 20 -- 21

Luego se marcan los números primos. Note la abundancia de diagonales.

En el applet que aparece arriba usted puede ver la espiral con valores de n de hasta 10¹⁴. Los números primos estan marcados en verde.

Mueva el gráfico haciendo click en las flechas o utilizando las teclas con flechas. Puede obtener más detalle o ver un área mayor utilizando los botones con lupas.

También puede ver la posición (x, y) en la espiral y el número n de cualquier punto del gráfico moviendo el cursor hasta ese punto. El applet muestra las ecuaciones correspondientes a las líneas diagonales que se cruzan en el punto indicado por el cursor.

Mueva el centro escribiendo un nuevo número (de hasta 14 dígitos) en el casillero izquierdo de entrada de datos.

Cambie el número que corresponde al centro de la espiral escribiendo un nuevo número (de hasta 14 dígitos) en el casillero derecho de entrada de datos. También puede incrementar o decrementar este valor utilizando los botones con triángulos.

La fórmula que genera los números en las líneas diagonales se puede expresar mediante polinomios de segundo grado. Se puede ver el discriminante (delta) presionando el botón delta. Los polinomios cuadráticos se muestran en la pantalla junto con su factorización si es posible. En este caso es obvio que la diagonal no puede contener primos, excepto en casos excepcionales (cuando un factor vale 1 y el otro es primo). Estas diagonales se pueden ver en azul utilizando el botón que contiene paréntesis (que representan los factores).

Cuando el polinomio cuadrático no se puede factorizar, su diagonal contendrá primos. Es interesante observar que alrededor de la mitad de los números primos no puede dividir a ninguno de los valores que toma el polinomio. Como ejemplo, si elegimos el valor 41 en el centro de la espiral entrando este número en el casillero derecho, hallaremos una diagonal con muchos primos en la dirección NW-SE. Esto se debe a que los valores que toma el polinomio 4t² + 2t + 41 no puede dividir a 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 ó 37 entre otros números primos. Cualquier número en la línea diagonal menor que 41² = 1681 debe ser primo, ya que no es múltiplo de ningún primo menor que su raíz cuadrada.

Los números que se muestran a la derecha del polinomio son los primos menores que 100 que no pueden dividir a ninguno de los valores que toma el polinomio.

Modificado el 15 de febrero de 2003.